Capacités commutées : principe et application.

CAPES de physique appliquée

TP.

1. Principe.

Le principe d'une capacité commutée consiste à charger et décharger une capacité. En valeur moyenne, celle-ci se comporte comme une résistance.

**Figure:** Principe d'une capacitée commuttée.
$\includegraphics {fig/principe.eps}$

Plus précisément, une capacité commutée est représentée sur la figure (1). S1 et S2 sont deux interrupteurs commandés par un signal carré de fréquence $f_{CLK}$ (période T). Sur une période [0, T/2], S1 est fermé et S2 est ouvert alors que S2 est fermé et S1 est ouvert pendant l'intervalle [ $T/2$ , T]. On a donc $V_{1}=Q_{1}/C$ pendant T/2 et $V_{2}=Q2/C$ sur l'intervalle [ $T/2$ , T] ce qui correspond à un transfert de charge $\Delta Q=Q2-Q1$ donné par :

$\begin{displaymath} \Delta Q=C\cdot (V_{2}-V_{1})=C\cdot V_{21}\end{displaymath}$

Le courant $I$ correspondant à ce transfert de charge sur une période est égal à $\Delta Q/T$ soit $I=V_{21}\cdot C/T$ .

En valeur moyenne¹, on peut donc écrire :

$\begin{displaymath} V_{21}=R_{EQ}\cdot I\end{displaymath}$

avec

$\begin{displaymath} R_{EQ}=\frac{T}{C}=\frac{1}{C\cdot f_{CLK}}\end{displaymath}$

La capacité commutée se comporte donc comme une résistance et la fréquence $f_{CLK}$ de commutation permet de faire varier la valeur de la résistance $R_{EQ}$ .

Le TP illustre ce principe en proposant deux applications :

La réalisation d'un filtre passe-bas à fréquence de coupure programmable.
La réalisation d'un distorsiomètre utilisant un filtre intégré à capacité commutée (circuit MF10).

1.1 Réalisation d'un filtre passe-bas à fréquence de coupure programmable.

Le montage est présenté sur la figure (2).

**Figure:** Schéma d'un filtre passe-bas programmable.
$\resizebox* {15cm}{!}{\includegraphics{fig/integr/principe1.eps}}$

Ce montage permet de comprendre le principe d'une capacité commutée réalisée à l'aide des deux interrupteurs et de la capacité C3. Ces interrupteurs sont commandés grace à un signal carré (0-10V). Les AOP U1, U6 et U11 effectue une adaptation d'impédance. Le filtre passe-bas R1-C9 élimine la composante résultant des commutations.

1.1.1 Calcul de la fréquence de coupure.

La capacité commutée et la capacité C6 se comporte comme un réseau R-C de type passe bas. Montrer que la fréquence de coupure $f_{3dB}$ de ce filtre est égale à :

$\begin{displaymath} f_{3dB}=\frac{f_{CLK}C3}{2\pi C6}\end{displaymath}$

On veut obtenir une fréquence de coupure égale à $f_{CLK}/100$ . On donne C6=1nF. Donner la valeur de C3.

1.1.2 Elimination des composantes spectrales liées aux commutations.

Le filtre passe-bas R1-C9 de fréquence de coupure fixe est chargée d'éliminer les composantes spectrales hautes-fréquences liées aux commutations. On considère ici que $f_{3dB}=f_{CLK}/100$ et que $f_{CLK}=100kHz$ . Calculer la valeur de la capacité C9 permettant de conserver le signal et d'éliminer le signal d'horloge.

1.2 Manipulations.

Le signal de commuation doit être carré et compris entre 0 et 10V (ajuster l'offset d'un générateur de fonction pour obtenir ce type de signal). Le signal d'entrée doit être supérieur à 0V (ajuster l'offset d'un générateur de fonction).

Enficher les capacités calculées lors du travail préparatoire. Vérifier et interpréter le fonctionnement du montage.

1.3 Remarque et conclusion.

Vous devez être maintenant convaincu qu'une capacité commutée se comporte bien comme une résistance. Une configuration différente autour de l'AOP U6 aurait permis de réaliser un intégrateur à constante de temps commandable. C'est cette configuration qui est utilisée par la suite dans un circuit intégré de type MF10.

2. Réalisation d'un distorsiomètre.

Tout signal périodique X(t) de fréquence $f_{H}$ peut se décomposer suivant une série de Fourrier dont les coefficients $C_{i}$ sont donnés par $X(t)=\sum _{i=1}^{\infty }$ $C_{i}\cdot sin(2\pi \cdot i\cdot f_{H})$ . Chaque composante de fréquence $i\cdot f_{H}$ est appelé un harmonique. la composante pour $i=1$ est le fondamental. Le taux de distorsion d est alors par définition :

$\begin{displaymath} d=\frac{\sqrt{\sum _{i=2}^{\infty }C_{i}^{2}}}{\sqrt{\sum _{i=1}^{\infty }C_{i}^{2}}}\end{displaymath}$

En d'autre terme, le taux de distorsion est le rapport entre la valeur efficace du signal auquel on a éliminé l'harmonique de rang i=1 (fondamental) et la valeur efficace du signal. En pratique, il faut donc disposer d'un système éliminant uniquement une fréquence. Ce type de système peut-être réalisé grâce à un filtre coupe-bande : filtre notch.

2.1 Etude d'un filtre notch.

La fonction de transfert d'un filtre notch de fréquence de coupure $f_{0}$ est donné par l'expression suivante :

$\begin{displaymath} H(s)_{s=j\omega }=\frac{s^{2}+\omega _{0}^{2}}{s^{2}+\frac{s\omega _{0}}{Q}+\omega _{0}^{2}}\end{displaymath}$

Le module de cette fonction de transfert est représenté sur la figure (3) pour différentes valeurs du facteur de qualité Q.

**Figure 3:** Module du gain en tension d'un filtre notch.
$\resizebox* {10cm}{!}{\rotatebox{-90}{\includegraphics{calc/module.eps}}}$

Ce type de filtre permet de réaliser la fonction nécessaire à l'estimation d'un taux de distorsion. Un facteur de qualité Q=5 est suffisant pour éliminer le fondamental et conserver l'amplitude des harmoniques de rang supérieur.

On propose de réaliser ce type de filtre à l'aide d'un circuit intégré réalisant un filtre ``à capacités commutées''. Le schéma du MF10 est donné sur la figure (4).

**Figure:** Schéma de principe d'un circuit intégré de type MF10. Les résistances marquées d'une * sont extérieures au circuit. Les résistances marquées avec un # sont des résistances réalisées par des capacités commutées. On remarquera l'utilisation des amplis en tension de gain -1 en sortie de U2 et U3.
$\resizebox* {!}{6cm}{\rotatebox{-90}{\includegraphics{fig/notch1.eps}}}$

Ce schéma correspond à une structure de type filtre universel. La sortie $V_{H}$ correspond à un filtre passe-haut, la sortie VBP à un filtre passe-bande et $V_{L}$ à un filtre passe-bas. On notera $\tau =RC$ . Les AOPs sont supposés idéaux. On prendra connaissance de la documentation jointe sur le circuit MF10. On utilisera les notations introduites dans cette documentation (ie $H_{OBP}$ , $H_{OLP}$ etc). Le circuit est configuré en mode 3a.

Calculer les fonctions de transfert $V_{H}/V_{i}$ , $VBP/V_{i}$ et $V_{L}/V_{i}$ .
Déterminer la fréquence de coupure de ces différents filtres, l'expression du facteur de qualité Q et celle du gain en tension dans la bande-passante que l'on notera HH, HBP et HL.

Pour réaliser un filtre notch, on ajoute le circuit présenté sur la figure (5).

**Figure:** Montage additionneur utilisé pour la réalisation d'un filtre notch. les entrées $VH$ et $VL$ correspondent aux tensions du même nom indiquées sur la figure 4.
$\resizebox* {5cm}{!}{\rotatebox{-90}{\includegraphics{fig/add1.eps}}}$

Déterminer la valeur de la tension $V_{N}$ puis le transfert en tension $V_{N}/v_{i}$ .
Montrer que ce transfert correspond à un filtre notch.
Déterminer alors la valeur de la fréquence de coupure $f_{N}$ , du facteur de qualité et celle du gain en tension dans la bande-passante que l'on notera HN.
On donne . Déterminer les valeurs des résistances , , , , , et pour satisfaire les conditions suivantes :
- Facteur de qualité égal à 10.
- $f_{N}=f_{0}=1/(2\pi \tau )$ .
- Gain en tension égal à 1 en dehors de la fréquence éliminée par le filtre notch.

Une dernière remarque.

La valeur de la résistance R est fixée par la fréquence du signal TTL appliquée aux circuits MF10. La capacité C intégrée dans le circuit est telle que :

$\begin{displaymath} \tau =\frac{100}{f_{CLK}}\end{displaymath}$

Manipulations.

A l'aide de la maquette fournie et des documents présents en salle de TP, mesurer le taux de distorsion d'un signal triangulaire de fréquence égale à 1kHz. Comparer cette valeur à celle fournie par un distorsiomètre commercial et à la valeur théorique.

notes :

1. un signal triangulaire est obligatoirement distordu. On mesure en général des taux de distorsion faible sur des signaux quasi-sinusoïdaux.

2. La décomposition d'un signal triagulaire de fréquence $f_{0}$ , de valeur moyenne nulle et de valeur crête à crête U est égale à :

$\begin{displaymath} \frac{8U}{\pi ^{2}}\left[ cos\omega _{0}t+\frac{1}{9}cos3\omega _{0}t+\frac{1}{25}cos5\omega _{0}t+...\right] \end{displaymath}$

Notes

... moyenne ¹: Pour des signaux de fréquence petite devant la période T de la commutation.

Routoure JM
2001-09-05